ตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ท: ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ ธ แบบ low pass

ตัวกรองไฟฟ้ามีการใช้งานมากมายและใช้กันอย่างแพร่หลายในวงจรประมวลผลสัญญาณจำนวนมาก ใช้สำหรับเลือกหรือกำจัดสัญญาณของความถี่ที่เลือกในสเปกตรัมทั้งหมดของอินพุตที่กำหนด ดังนั้นตัวกรองจึงถูกใช้เพื่อให้สัญญาณของความถี่ที่เลือกส่งผ่านหรือกำจัดสัญญาณของความถี่ที่เลือกผ่านไป

ในปัจจุบันมีตัวกรองหลายประเภทและมีความแตกต่างกันหลายวิธี และเราได้กล่าวถึงตัวกรองมากมายในบทช่วยสอนก่อนหน้านี้ แต่ความแตกต่างที่ได้รับความนิยมส่วนใหญ่จะขึ้นอยู่กับ

อนาล็อกหรือดิจิตอล
Active หรือ passive
เสียงหรือความถี่วิทยุ
การเลือกความถี่

ตัวกรองอนาล็อกหรือดิจิตอล

เราทราบดีว่าสัญญาณที่เกิดจากสิ่งแวดล้อมนั้นมีลักษณะเป็นอนาล็อกในขณะที่สัญญาณที่ประมวลผลในวงจรดิจิทัลเป็นสัญญาณดิจิทัล เราต้องใช้ตัวกรองที่สอดคล้องกันสำหรับสัญญาณอนาล็อกและดิจิตอลเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ ดังนั้นเราจึงต้องใช้ตัวกรองอนาล็อกในขณะที่ประมวลผลสัญญาณอนาล็อกและใช้ตัวกรองดิจิทัลในขณะที่ประมวลผลสัญญาณดิจิทัล

ตัวกรองที่ใช้งานอยู่หรือแบบพาสซีฟ

ตัวกรองยังแบ่งตามส่วนประกอบที่ใช้ในการออกแบบตัวกรอง หากการออกแบบตัวกรองขึ้นอยู่กับส่วนประกอบแบบพาสซีฟ (เช่นตัวต้านทานตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ) ตัวกรองจะเรียกว่าตัวกรองแบบพาสซีฟ ในทางกลับกันถ้าเราใช้ส่วนประกอบที่ใช้งานอยู่ (op-amp, แหล่งจ่ายแรงดัน, แหล่งกระแส) ในขณะที่ออกแบบวงจรตัวกรองจะเรียกว่าตัวกรองที่ใช้งานอยู่

เป็นที่นิยมมากขึ้นแม้ว่าตัวกรองที่ใช้งานอยู่จะเป็นที่ต้องการมากกว่าตัวกรองแบบพาสซีฟเนื่องจากมีข้อดีหลายประการ ข้อดีบางประการดังต่อไปนี้:

ไม่มีปัญหาในการโหลด:เรารู้ว่าในวงจรแอ็คทีฟเราใช้ออปแอมป์ซึ่งมีอิมพีแดนซ์อินพุตสูงมากและอิมพีแดนซ์เอาต์พุตต่ำ ในกรณีนั้นเมื่อเราเชื่อมต่อตัวกรองแอคทีฟเข้ากับวงจรกระแสที่ดึงโดย op-amp จะน้อยมากเนื่องจากมีอิมพีแดนซ์อินพุตสูงมากและวงจรจึงไม่เป็นภาระเมื่อเชื่อมต่อตัวกรอง
เพิ่มความยืดหยุ่นในการปรับแต่ง:ในตัวกรองแบบพาสซีฟการขยายหรือการขยายสัญญาณจะไม่สามารถทำได้เนื่องจากจะไม่มีส่วนประกอบเฉพาะในการทำงานดังกล่าว ในทางกลับกันในตัวกรองที่ใช้งานอยู่เรามี op-amp ซึ่งสามารถให้อัตราขยายสูงหรือการขยายสัญญาณไปยังสัญญาณอินพุต
ความยืดหยุ่นในการปรับความถี่:ฟิลเตอร์ที่ใช้งานมีความยืดหยุ่นสูงขึ้นเมื่อปรับความถี่คัตออฟเมื่อเทียบกับตัวกรองแบบพาสซีฟ

ตัวกรองตามความถี่เสียงหรือวิทยุ

ส่วนประกอบที่ใช้ในการออกแบบตัวกรองจะเปลี่ยนแปลงไปตามการใช้ตัวกรองหรือตำแหน่งที่ใช้การตั้งค่า ตัวอย่างเช่นตัวกรอง RC ใช้สำหรับแอปพลิเคชันเสียงหรือความถี่ต่ำในขณะที่ตัวกรอง LC ใช้สำหรับแอปพลิเคชันวิทยุหรือความถี่สูง

ตัวกรองขึ้นอยู่กับการเลือกความถี่

นอกจากนี้ตัวกรองยังแบ่งตามสัญญาณที่ส่งผ่านตัวกรอง

กรองผ่านต่ำ:

สัญญาณทั้งหมดที่อยู่เหนือความถี่ที่เลือกจะถูกลดทอน มีสองประเภทคือ Active Low Pass Filter และ Passive Low Pass Filter การตอบสนองความถี่ของตัวกรองความถี่ต่ำแสดงอยู่ด้านล่าง กราฟเส้นประเป็นกราฟฟิลเตอร์ความถี่ต่ำในอุดมคติและกราฟที่สะอาดคือการตอบสนองที่แท้จริงของวงจรที่ใช้งานได้จริง สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากเครือข่ายเชิงเส้นไม่สามารถสร้างสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องได้ ดังแสดงในรูปหลังจากสัญญาณถึงความถี่คัตออฟ fH พวกเขาพบการลดทอนและหลังจากความถี่ที่สูงขึ้นสัญญาณที่ให้ที่อินพุตจะถูกบล็อกอย่างสมบูรณ์

ตัวกรองความถี่สูง:

สัญญาณทั้งหมดเหนือความถี่ที่เลือกจะปรากฏที่เอาต์พุตและสัญญาณด้านล่างความถี่นั้นจะถูกบล็อก มีสองประเภทคือ Active High Pass Filter และ Passive High Pass Filter การตอบสนองความถี่ของตัวกรองความถี่สูงแสดงอยู่ด้านล่าง กราฟเส้นประเป็นกราฟฟิลเตอร์ความถี่สูงในอุดมคติและกราฟที่สะอาดคือการตอบสนองที่แท้จริงของวงจรที่ใช้งานได้จริง สิ่งนี้เกิดขึ้นเนื่องจากเครือข่ายเชิงเส้นไม่สามารถสร้างสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องได้ ดังแสดงในรูปจนกว่าสัญญาณจะมีความถี่สูงกว่าความถี่คัตออฟ fL พวกเขาจะได้รับการลดทอน

ตัวกรอง Bandpass:

ในตัวกรองนี้สัญญาณของช่วงความถี่ที่เลือกเท่านั้นที่ได้รับอนุญาตให้ปรากฏที่เอาต์พุตในขณะที่สัญญาณของความถี่อื่น ๆ จะถูกบล็อก การตอบสนองความถี่ของตัวกรองแบนด์พาสแสดงไว้ด้านล่าง กราฟเส้นประคือกราฟฟิลเตอร์แบนด์พาสในอุดมคติและกราฟที่สะอาดคือการตอบสนองที่แท้จริงของวงจรที่ใช้งานได้จริง ดังแสดงในรูปสัญญาณในช่วงความถี่จาก fL ถึง fH ได้รับอนุญาตให้ผ่านตัวกรองในขณะที่สัญญาณของการลดทอนประสบการณ์ความถี่อื่น ๆ เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับ Band Pass Filter ที่นี่

ตัวกรองปฏิเสธวง:

ฟังก์ชันตัวกรองปฏิเสธแบนด์ตรงข้ามกับตัวกรองแบนด์พาส สัญญาณความถี่ทั้งหมดที่มีค่าความถี่ในช่วงแบนด์ที่เลือกไว้ที่อินพุตจะถูกฟิลเตอร์บล็อกในขณะที่สัญญาณของความถี่อื่น ๆ จะได้รับอนุญาตให้ปรากฏที่เอาต์พุต

ตัวกรองผ่านทั้งหมด:

สัญญาณของความถี่ใด ๆ ได้รับอนุญาตให้ผ่านตัวกรองนี้ยกเว้นว่าจะมีการเปลี่ยนเฟส

จากการใช้งานและต้นทุนผู้ออกแบบสามารถเลือกตัวกรองที่เหมาะสมจากประเภทต่างๆ

แต่ที่นี่คุณจะเห็นในกราฟผลลัพธ์ผลลัพธ์ที่ต้องการและผลลัพธ์จริงไม่เหมือนกันทุกประการ แม้ว่าข้อผิดพลาดนี้จะได้รับอนุญาตในหลาย ๆ แอปพลิเคชันบางครั้งเราก็ต้องการตัวกรองที่แม่นยำกว่าซึ่งกราฟผลลัพธ์มีแนวโน้มที่จะไปสู่ตัวกรองในอุดมคติ การตอบสนองที่ใกล้เคียงที่สุดนี้สามารถทำได้โดยใช้เทคนิคการออกแบบพิเศษส่วนประกอบที่มีความแม่นยำและออปแอมป์ความเร็วสูง

Butterworth, Caur และ Chebyshevเป็นตัวกรองที่ใช้บ่อยที่สุดซึ่งสามารถให้เส้นโค้งการตอบสนองที่ใกล้เคียงที่สุด ในนั้นเราจะพูดถึงตัวกรอง Butterworthที่นี่เนื่องจากเป็นหนึ่งในสามที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

คุณสมบัติหลักของตัวกรอง Butterworth คือ:

เป็นตัวกรองที่ใช้ RC (Resistor, Capacitor) & Op-amp (เครื่องขยายเสียงในการทำงาน)
เป็นตัวกรองที่ใช้งานอยู่ดังนั้นจึงสามารถปรับอัตราขยายได้หากจำเป็น
ลักษณะสำคัญของบัตเตอร์เวิร์ ธ คือมีแบนพาสแบนด์และสต็อปแบนด์ นี่คือเหตุผลที่มักเรียกว่า "ฟิลเตอร์แบนแบน"

ตอนนี้ให้เราพูดถึงรูปแบบวงจรของLow Pass Butterworth Filterเพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น

ลำดับแรก Low Pass Butterworth Filter

รูปแสดงรูปแบบวงจรของตัวกรอง Butter worth ลำดับแรกแบบ low-pass

ในวงจรเรามี:

แรงดันไฟฟ้า 'Vin' เป็นสัญญาณแรงดันไฟฟ้าขาเข้าซึ่งเป็นแบบอะนาล็อก
แรงดันไฟฟ้า 'Vo' คือแรงดันขาออกของเครื่องขยายเสียงที่ใช้งานได้
ตัวต้านทาน 'RF' และ 'R1' เป็นตัวต้านทานตอบรับเชิงลบของแอมพลิฟายเออร์ที่ใช้งานได้
มีเครือข่าย RC เดียว (ทำเครื่องหมายในช่องสี่เหลี่ยมสีแดง) อยู่ในวงจรดังนั้นตัวกรองจึงเป็นตัวกรองความถี่ต่ำอันดับหนึ่ง
'RL' คือความต้านทานโหลดที่เชื่อมต่อที่เอาต์พุต op-amp

ถ้าเราใช้กฎตัวแบ่งแรงดันไฟฟ้าที่จุด 'V1 ดังนั้นเราจะได้แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุเป็น

V ₁ = V _{ในที่}นี่ –jXc = 1 / 2ᴫfc

หลังจากแทนที่สมการนี้เราจะมีบางอย่างดังนี้

V ₁ = Vi _n / (1 + j2ᴫfRC)

ตอนนี้ op-amp ที่นี่ใช้ในการกำหนดค่าข้อเสนอแนะเชิงลบและในกรณีนี้สมการแรงดันเอาต์พุตจะได้รับเป็น

V ₀ = (1 + R _F / R ₁) V _1.

นี่เป็นสูตรมาตรฐานและคุณสามารถดูวงจร op-amp เพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม

ถ้าเราส่งสมการ V1 เข้าไปใน Vo เราจะมี

V0 = (1 + อาร์เอ_ฟ / อาร์₁)

หลังจากเขียนสมการนี้ใหม่เราจะมี

V ₀ / V _ใน = A _F / (1 + j (f / f _L))

ในสมการนี้

V ₀ / V _in = อัตราขยายของตัวกรองตามฟังก์ชันของความถี่
AF = (1 + R _F / R ₁) = อัตราขยายความถี่ของตัวกรอง
f = ความถี่ของสัญญาณอินพุต
f _L = 1 / 2ᴫRC = ความถี่คัตออฟของฟิลเตอร์ เราสามารถใช้สมการนี้เพื่อเลือกค่าตัวต้านทานและตัวเก็บประจุที่เหมาะสมเพื่อเลือกความถี่คัตออฟของวงจร

ถ้าเราแปลงสมการข้างต้นเป็นรูปเชิงขั้วเราจะมี

เราสามารถใช้สมการนี้เพื่อสังเกตการเปลี่ยนแปลงของขนาดเกนกับการเปลี่ยนแปลงความถี่ของสัญญาณอินพุต

กรณีที่ 1: f < ล . ดังนั้นให้เราพิจารณาว่าความถี่อินพุตน้อยกว่าความถี่คัตออฟของตัวกรองมาก

ดังนั้นเมื่ออินพุตความถี่มากน้อยกว่าตัดความถี่กรองแล้วขนาดกำไรจะประมาณเท่ากับกำไรห่วงของสหกรณ์แอมป์

Case2: F = f L หากความถี่อินพุตเท่ากับความถี่คัตออฟของฟิลเตอร์

ดังนั้นเมื่อความถี่เท่ากับตัดความถี่กรองแล้วขนาดกำไรเป็น 0.707 เท่าของกำไรห่วงของสหกรณ์แอมป์

Case3: F> _F L หากความถี่อินพุตสูงกว่าความถี่คัตออฟของฟิลเตอร์

ดังที่คุณเห็นจากรูปแบบอัตราขยายของตัวกรองจะเหมือนกับอัตราขยายของ op-amp จนกว่าความถี่สัญญาณอินพุตจะน้อยกว่าความถี่คัตออฟ แต่เมื่อความถี่สัญญาณอินพุตถึงความถี่คัตออฟกำไรจะลดลงเล็กน้อยดังที่เห็นในกรณีที่สอง และเมื่อความถี่ของสัญญาณอินพุตเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เกนก็จะค่อยๆลดลงจนกระทั่งถึงศูนย์ ดังนั้นกรองบัตเตอร์ผ่านต่ำช่วยให้สัญญาณไปปรากฏตัวที่เอาท์พุทจนความถี่ของสัญญาณที่ต่ำกว่าตัดความถี่

หากเราวาดกราฟตอบสนองความถี่สำหรับวงจรข้างต้นเราจะมี

ดังที่เห็นในกราฟกำไรจะเป็นเส้นตรงจนกว่าความถี่ของสัญญาณอินพุตจะข้ามค่าความถี่คัตออฟและเมื่อมันเกิดขึ้นอัตราขยายจะลดลงอย่างมาก

ลำดับที่สอง Butterworth Low Pass Filter

รูปแสดงวงจรของตัวกรองความถี่ต่ำบัตเตอร์เวิร์ ธ ลำดับที่ 2

ในวงจรเรามี:

แรงดันไฟฟ้า 'Vin' เป็นสัญญาณแรงดันไฟฟ้าขาเข้าซึ่งเป็นแบบอะนาล็อก
แรงดันไฟฟ้า 'Vo' คือแรงดันขาออกของเครื่องขยายเสียงที่ใช้งานได้
ตัวต้านทาน 'RF' และ 'R1' เป็นตัวต้านทานตอบรับเชิงลบของแอมพลิฟายเออร์ที่ใช้งานได้
มีเครือข่าย RC คู่ (ทำเครื่องหมายในช่องสี่เหลี่ยมสีแดง) อยู่ในวงจรดังนั้นตัวกรองจึงเป็นตัวกรองความถี่ต่ำลำดับที่สอง
'RL' คือความต้านทานโหลดที่เชื่อมต่อที่เอาต์พุต op-amp

ลำดับที่สองการมาของตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ ธ Low Pass

ตัวกรองลำดับที่สองมีความสำคัญเนื่องจากตัวกรองลำดับที่สูงกว่าได้รับการออกแบบโดยใช้ตัวกรองเหล่านี้ กำไรของตัวกรองที่สองสั่งซื้อจะถูกกำหนดโดย R1 และ RF ขณะที่ตัดความถี่ฉ_H จะถูกกำหนดโดย R ₂, R ₃, C ₂ & C ₃ค่า ที่มาของความถี่คัตออฟจะได้รับดังนี้

ฉ_H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

สมการการเพิ่มแรงดันไฟฟ้าสำหรับวงจรนี้สามารถพบได้ในลักษณะเดียวกันกับก่อนหน้านี้และสมการนี้ได้รับด้านล่าง

ในสมการนี้

V ₀ / V _in = อัตราขยายของตัวกรองตามฟังก์ชันของความถี่
A _F = (1 + R _F / R ₁) อัตราขยายความถี่ของตัวกรอง
f = ความถี่ของสัญญาณอินพุต
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = ความถี่คัตออฟของฟิลเตอร์ เราสามารถใช้สมการนี้เพื่อเลือกค่าตัวต้านทานและตัวเก็บประจุที่เหมาะสมเพื่อเลือกความถี่คัตออฟของวงจร นอกจากนี้ถ้าเราเลือกตัวต้านทานและตัวเก็บประจุเดียวกันในเครือข่าย RC สมการจะกลายเป็น

เราสามารถสมการการเพิ่มแรงดันไฟฟ้าเพื่อสังเกตการเปลี่ยนแปลงของขนาดเกนด้วยการเปลี่ยนแปลงความถี่ของสัญญาณอินพุตที่สอดคล้องกัน

กรณีที่ 1: f < ซ . ดังนั้นให้เราพิจารณาว่าความถี่อินพุตน้อยกว่าความถี่คัตออฟของตัวกรองมาก

Case2: F = f H หากความถี่อินพุตเท่ากับความถี่คัตออฟของฟิลเตอร์

Case3: F> _F H หากความถี่อินพุตสูงกว่าความถี่คัตออฟของฟิลเตอร์จริงๆ

เช่นเดียวกับตัวกรองลำดับที่หนึ่งอัตราขยายของตัวกรองจะเหมือนกับการเพิ่มของ op-amp จนกว่าความถี่สัญญาณอินพุตจะน้อยกว่าความถี่คัตออฟ แต่เมื่อความถี่สัญญาณอินพุตถึงความถี่คัตออฟกำไรจะลดลงเล็กน้อยดังที่เห็นในกรณีที่สอง และเมื่อความถี่ของสัญญาณอินพุตเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เกนก็จะค่อยๆลดลงจนกระทั่งถึงศูนย์ ดังนั้นตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ ธ แบบ low pass จึงอนุญาตให้สัญญาณอินพุตปรากฏที่เอาต์พุตจนกว่าความถี่ของสัญญาณอินพุตจะต่ำกว่าความถี่คัตออฟ

ถ้าเราวาดกราฟตอบสนองความถี่สำหรับวงจรข้างต้นเราจะมี

ตอนนี้คุณอาจสงสัยว่าตัวกรองลำดับที่หนึ่งและตัวกรองลำดับที่สองแตกต่างกันตรงไหน? คำตอบอยู่ในกราฟหากคุณสังเกตอย่างละเอียดคุณจะเห็นได้หลังจากความถี่สัญญาณอินพุตข้ามความถี่คัตออฟแล้วกราฟจะลดลงอย่างมากและการลดลงนี้จะชัดเจนมากขึ้นในลำดับที่สองเมื่อเทียบกับลำดับแรก ด้วยความเอียงที่สูงชันนี้ตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ ธลำดับที่สองจะมีความโน้มเอียงไปทางกราฟฟิลเตอร์ในอุดมคติมากขึ้นเมื่อเทียบกับฟิลเตอร์บัตเตอร์เวิร์ ธ แบบลำดับเดียว

สิ่งนี้เหมือนกันสำหรับ Third Order Butterworth Low Pass Filter, Forth Order Butterworth Low Pass Filterและอื่น ๆ ยิ่งลำดับของตัวกรองสูงเท่าใดกราฟกำไรก็จะโน้มไปสู่กราฟฟิลเตอร์ในอุดมคติมากขึ้นเท่านั้น ถ้าเราวาดกราฟกำไรสำหรับตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ ธ ลำดับที่สูงขึ้นเราจะมีอะไรแบบนี้

ในกราฟเส้นโค้งสีเขียวแสดงถึงเส้นโค้งตัวกรองในอุดมคติและคุณจะเห็นได้ว่าลำดับของตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ ธ จะเพิ่มกราฟกำไรที่โน้มไปสู่เส้นโค้งในอุดมคติมากขึ้น ดังนั้นลำดับของตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ ธ ที่สูงขึ้นที่เลือกก็จะยิ่งเหมาะมากขึ้นเท่านั้น ด้วยการที่บอกว่าคุณไม่สามารถเลือกตัวกรองขั้นสูงได้อย่างง่ายดายเป็นความถูกต้องของตัวกรองลดลงด้วยการเพิ่มขึ้นในการสั่งซื้อดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดที่จะเลือกลำดับของตัวกรองในขณะที่จับตาดูความแม่นยำที่ต้องการ

ลำดับที่สองการมาของตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ ธ Low Pass -Aliter

หลังจากบทความเผยแพร่เราได้รับจดหมายจาก Keith Vogel ซึ่งเป็นวิศวกรไฟฟ้าที่เกษียณแล้ว เขาได้พบข้อผิดพลาดเผยแพร่อย่างกว้างขวางในคำอธิบายของ 2 ^{nd การ} กรองเพื่อต่ำผ่านและเสนอคำอธิบายของเขาที่จะแก้ไขให้ถูกต้องซึ่งจะเป็นดังนี้

ให้ฉันเข้าใจด้วยนะ:

จากนั้นไปบอกว่าความถี่คัตออฟ -6db อธิบายโดยสมการ:

ฉ_c = 1 / (

)

อย่างไรก็ตามนี่ไม่เป็นความจริง! ขอให้คุณเชื่อฉัน มาสร้างวงจรที่ R1 = R2 = 160 และ C1 = C2 = 100nF (0.1uF) จากสมการเราควรมีความถี่ -6db เป็น:

ฉ_c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9.947 กิโลเฮิร์ตซ์

มาลองจำลองวงจรดูว่าจุด -6db อยู่ที่ใด:

โอ้มันจำลองเป็น 6.33kHz ไม่ใช่ 9.947kHz; แต่การจำลองไม่ผิด!

สำหรับข้อมูลของคุณฉันได้ใช้ -6.0206db แทน -6db เพราะ 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 เป็นตัวเลขที่ใกล้เคียงกว่า -6 เล็กน้อยและเพื่อให้ได้ความถี่จำลองที่แม่นยำยิ่งขึ้นกับสมการของเราฉันต้องการใช้ บางอย่างใกล้กว่า -6db เพียงเล็กน้อย ถ้าผมอยากจะบรรลุความถี่ที่ระบุไว้โดยสมการที่ฉันจะต้องกันชนระหว่าง 1 ^{เซนต์} และ 2 ^{ครั้ง} ขั้นตอนของการกรอง วงจรที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับสมการของเราคือ:

และที่นี่เราจะเห็นจุด -6.0206db ของเราจำลองเป็น 9.945kHz ซึ่งใกล้เคียงกับ 9.947kHZ ที่คำนวณได้มาก หวังว่าคุณจะเชื่อฉันว่ามีข้อผิดพลาด! ตอนนี้เรามาพูดถึงว่าข้อผิดพลาดเกิดขึ้นได้อย่างไรและเหตุใดจึงเป็นเพียงวิศวกรรมที่ไม่ดี

รายละเอียดส่วนใหญ่จะเริ่มต้นด้วย 1 ^{เซนต์} เพื่อกรองผ่านต่ำที่มีความต้านทานดังต่อไปนี้

และคุณจะได้รับฟังก์ชั่นการถ่ายโอนอย่างง่ายของ:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

แล้วพวกเขาก็บอกว่าถ้าคุณเพียงแค่ใส่ที่ 2 ของเหล่านี้เข้าด้วยกันเพื่อให้การ 2 ^{ครั้ง} กรองเพื่อที่คุณจะได้รับ:

H (s) = H ₁ (s) * H ₂ (s)

โดยที่ H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

ซึ่งเมื่อคำนวณออกมาจะทำให้ได้สมการ fc = 1 / (2π√R1C1R2C2) นี่คือข้อผิดพลาดการตอบสนองของ H ₁ (s) ไม่เป็นอิสระจาก H ₂ (s) ในวงจรคุณไม่สามารถพูดว่า H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1).

ความต้านทานของ H ₂ (s) มีผลต่อการตอบสนองของ H ₁ (s) และเหตุใดวงจรนี้จึงทำงานได้เนื่องจาก opamp แยก H ₂ (s) จาก H ₁ (s)!

ตอนนี้ผมจะวิเคราะห์วงจรต่อไปนี้ พิจารณาวงจรเดิมของเรา:

เพื่อความง่ายฉันจะสร้าง R1 = R2 และ C1 = C2 มิฉะนั้นคณิตศาสตร์จะเข้ามาเกี่ยวข้องจริงๆ แต่เราควรจะได้รับฟังก์ชันการถ่ายโอนจริงและเปรียบเทียบกับการจำลองของเราเพื่อตรวจสอบความถูกต้องเมื่อเราทำเสร็จแล้ว

ถ้าเราบอกว่า Z ₁ = 1 / sC ขนานกับ (R + 1 / sC) เราสามารถวาดวงจรใหม่เป็น:

เรารู้ว่า V ₁ / V _in = Z ₁ / (R + Z ₁); โดยที่ Z ₁ สามารถเป็นอิมพีแดนซ์เชิงซ้อน และถ้าเรากลับไปที่วงจรเดิมเราจะเห็น Z ₁ = 1 / sC ขนานกับ (R + 1 / sC)

นอกจากนี้เรายังสามารถเห็นได้ว่า Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1) ซึ่งก็คือ H ₂ (s) แต่ H ₁ (s) ซับซ้อนกว่ามากคือ Z ₁ / (R + Z ₁) โดยที่ Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC); และไม่ใช่ 1 / (sRC + 1)!

ตอนนี้ให้คำนวณทางคณิตศาสตร์สำหรับวงจรของเรา สำหรับกรณีพิเศษของ R1 = R2 และ C1 = C2

เรามี:

V ₁ / V _ใน = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + 2sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

และในที่สุดก็

Vo / V _ใน = * = * = * = * = *

ที่นี่เราจะเห็นว่า:

H ₁ (s) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3sRC + 1)…

ไม่ใช่ 1 / (sRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

และ..

Vo / V _ใน = H ₁ (s) * H ₂ (s) = * = 1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1)

เรารู้ว่าจุด -6db คือ (

/ 2) ² = 0.5

และเรารู้ว่าเมื่อขนาดของฟังก์ชันการถ่ายโอนของเราอยู่ที่ 0.5 เราอยู่ที่ความถี่ -6db

ลองแก้กันดู:

-Vo / V _ใน - = -1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0.5

ให้ s = jꙍเรามี:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0.5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0.5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

ในการหาขนาดให้หารากที่สองของกำลังสองของข้อตกลงจริงและจินตภาพ

sqrt (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

กำลังสองด้าน:

((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

ขยาย:

1 - 2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

ให้ x = (ꙍRC) ²

(x) ² + 7x - 3 = 0

ใช้สมการกำลังสองเพื่อแก้ปัญหาสำหรับ x