สมการแมกซ์เวลล์เป็นพื้นฐานของทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าซึ่งประกอบด้วยสมการสี่ชุดที่เกี่ยวข้องกับสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก แทนที่จะแสดงรายการการแทนค่าทางคณิตศาสตร์ของสมการแมกซ์เวลล์เราจะเน้นที่ความสำคัญที่แท้จริงของสมการเหล่านั้นในบทความนี้ สมการที่หนึ่งและสองของ Maxwell เกี่ยวข้องกับสนามไฟฟ้าสถิตและสนามแม่เหล็กไฟฟ้าสถิตตามลำดับ สมการที่สามและสี่ของ Maxwell เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนสนามแม่เหล็กและการเปลี่ยนสนามไฟฟ้าตามลำดับ
สมการ Maxwell คือ:
- กฎของเกาส์ไฟฟ้า
- กฎแม่เหล็กของเกาส์
- กฎแห่งการชักนำของฟาราเดย์
- กฎของแอมแปร์
1. กฎของเกาส์ไฟฟ้า
กฎหมายนี้ระบุว่าฟลักซ์ไฟฟ้าจากพื้นผิวปิดเป็นสัดส่วนกับประจุทั้งหมดที่ปิดล้อมด้วยพื้นผิวนั้น กฎหมายเกาส์เกี่ยวข้องกับสนามไฟฟ้าสถิต
ให้เราพิจารณาประจุไฟฟ้าบวก Q เรารู้ว่าเส้นฟลักซ์ไฟฟ้าพุ่งออกไปจากประจุบวก
ให้เราพิจารณาพื้นผิวปิดที่มี Charge Q ล้อมรอบอยู่ เวกเตอร์พื้นที่ถูกเลือกให้เป็นปกติเสมอเนื่องจากแสดงถึงการวางแนวของพื้นผิว ให้มุมที่ทำโดยเวกเตอร์สนามไฟฟ้ากับเวกเตอร์พื้นที่เป็นθ
ฟลักซ์ไฟฟ้าψคือ
เหตุผลในการเลือกผลิตภัณฑ์ดอทคือเราต้องคำนวณว่าฟลักซ์ไฟฟ้าผ่านพื้นผิวที่แสดงด้วยเวกเตอร์พื้นที่ปกติเท่าใด
จากกฎหมายคูลอมบ์เรารู้ว่าสนามไฟฟ้า (E) เนื่องมาจากค่าจุดเป็น Q / 4πε 0 R 2
เมื่อพิจารณาถึงความสมมาตรทรงกลมรูปแบบหนึ่งของกฎเกาส์คือ:
ดังนั้นฟลักซ์ไฟฟ้า Ψ = Q ล้อมรอบ / ε 0
ที่นี่Q ล้อมรอบ หมายถึงผลรวมเวกเตอร์ของค่าใช้จ่ายทั้งหมดที่อยู่ภายในผิวพื้นที่ที่ล้อมรอบประจุอาจมีรูปร่างอย่างไรก็ได้ แต่ในการใช้กฎเกาส์เราต้องเลือกพื้นผิวแบบเกาส์ที่สมมาตรและมีการกระจายประจุสม่ำเสมอ พื้นผิว Gaussian อาจเป็นทรงกระบอกหรือทรงกลมหรือระนาบ
เพื่อให้ได้รูปแบบ Differential เราจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบท Divergence
สมการข้างบนเป็นรูปแบบที่แตกต่างกันของ Gauss กฎหมายหรือแมกซ์เวลสมฉัน
ในสมการข้างต้นρแสดงถึงความหนาแน่นของประจุปริมาตร เมื่อเราต้องใช้กฎ Gauss กับพื้นผิวที่มีประจุแบบเส้นหรือการกระจายของประจุไฟฟ้าจะสะดวกกว่าในการแทนสมการด้วยความหนาแน่นของประจุ
ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าความแตกต่างของสนามไฟฟ้าบนพื้นผิวปิดจะให้ปริมาณประจุ (ρ) ที่ล้อมรอบอยู่ ด้วยการใช้ความแตกต่างกับฟิลด์เวกเตอร์เราสามารถทราบได้ว่าพื้นผิวที่ล้อมรอบด้วยฟิลด์เวกเตอร์ทำหน้าที่เป็นแหล่งที่มาหรืออ่าง
ให้เราพิจารณาลูกบาศก์ที่มีประจุบวกดังที่แสดงด้านบน เมื่อเราใช้ความแตกต่างกับสนามไฟฟ้าที่ออกมาจากกล่อง (ทรงสี่เหลี่ยม) ผลลัพธ์ของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์จะบอกเราว่ากล่อง (ทรงลูกบาศก์) ที่ถือว่าทำหน้าที่เป็นแหล่งที่มาของสนามไฟฟ้าที่คำนวณ ถ้าผลลัพธ์เป็นลบจะบอกเราว่ากล่องนั้นทำหน้าที่เป็นอ่างล้างจานนั่นคือกล่องนั้นมีประจุลบอยู่ ถ้าความแตกต่างเป็นศูนย์หมายความว่าไม่มีประจุอยู่ในนั้น
จากนี้เราสามารถอนุมานได้ว่าขั้วไฟฟ้าที่มีอยู่
2. กฎแม่เหล็กของเกาส์
เราทราบว่าเส้นฟลักซ์แม่เหล็กไหลจากขั้วเหนือไปยังขั้วใต้ภายนอก
เนื่องจากมีเส้นฟลักซ์แม่เหล็กเนื่องจากแม่เหล็กถาวรจะมีความหนาแน่นของฟลักซ์แม่เหล็กที่เกี่ยวข้อง (B) ของมัน เมื่อเราใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์กับพื้นผิว S1, S2, S3 หรือ S4 เราจะเห็นว่าจำนวนของเส้นฟลักซ์ที่เข้าและออกจากพื้นผิวที่เลือกยังคงเท่าเดิม ดังนั้นผลลัพธ์ของทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์จึงเป็นศูนย์ แม้จะอยู่ในพื้นผิวและ S2 S4 ที่แตกต่างเป็นศูนย์ซึ่งหมายความว่าไม่ว่าขั้วโลกเหนือหรือขั้วโลกใต้เป็นรายบุคคลทำหน้าที่เป็นแหล่งหรืออ่างเช่นค่าใช้จ่ายไฟฟ้าแม้ว่าเราจะใช้ความแตกต่างของสนามแม่เหล็ก (B) เนื่องจากลวดนำกระแส แต่ก็กลายเป็นศูนย์
รูปแบบหนึ่งของกฎแม่เหล็กของเกาส์คือ:
รูปแบบที่แตกต่างของ Gauss law of Magnetism คือ:
จากสิ่งนี้เราสามารถอนุมานได้ว่าโมโนโพลแม่เหล็กไม่มีอยู่จริง
3. กฎแห่งการชักนำของฟาราเดย์
กฎของฟาราเดย์ระบุว่าเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็ก (เปลี่ยนแปลงตามเวลา) เชื่อมโยงขดลวดหรือตัวนำใด ๆ จะมี EMF เกิดขึ้นในขดลวด Lenz ระบุว่า EMF ที่เหนี่ยวนำจะอยู่ในทิศทางที่ต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็กที่ผลิตขึ้น
ในภาพประกอบด้านบนเมื่อแผ่นตัวนำหรือตัวนำอยู่ภายใต้อิทธิพลของสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงกระแสไฟฟ้าหมุนเวียนจะเกิดขึ้น กระแสไฟฟ้าถูกเหนี่ยวนำในทิศทางที่สนามแม่เหล็กที่สร้างขึ้นโดยต่อต้านแม่เหล็กเปลี่ยนแปลงที่สร้างขึ้น จากภาพประกอบนี้เห็นได้ชัดว่าสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงหรือแปรผันทำให้เกิดสนามไฟฟ้าหมุนเวียน
จากกฎของฟาราเดย์
emf = - dϕ / dt
เรารู้ว่า, ϕ = พื้นผิวปิด ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
สนามไฟฟ้า E = V / d
V = ʃ E.dl
เนื่องจากสนามไฟฟ้ากำลังเปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับพื้นผิว (ขด) จึงมีความต่างศักย์ V.
ดังนั้นรูปแบบหนึ่งของสมการที่สี่ของ Maxwell คือ
โดยใช้ทฤษฎีบทของสโต๊ค
เหตุผลในการใช้ทฤษฎีบทของสโต๊คคือเมื่อเราขดสนามหมุนบนพื้นผิวปิดส่วนประกอบขดภายในของเวกเตอร์จะยกเลิกซึ่งกันและกันและส่งผลให้การประเมินฟิลด์เวกเตอร์ตามเส้นทางปิด
ดังนั้นเราสามารถเขียนว่า
รูปแบบที่แตกต่างของสมการของ Maxwell คือ
จากการแสดงออกข้างต้นเป็นที่ชัดเจนว่าสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาทำให้เกิดสนามไฟฟ้าหมุนเวียน
หมายเหตุ: ในทางไฟฟ้าสถิตขดของสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์เนื่องจากมันโผล่ออกมาในแนวรัศมีจากประจุไฟฟ้าและไม่มีส่วนประกอบที่หมุนเชื่อมโยงกับมัน
4. กฎของแอมแปร์
กฎของแอมแปร์ระบุว่าเมื่อกระแสไฟฟ้าไหลผ่านเส้นลวดจะทำให้เกิดสนามแม่เหล็กรอบ ๆ ในทางคณิตศาสตร์เส้นอินทิกรัลของสนามแม่เหล็กรอบวงปิดจะให้กระแสรวมที่ล้อมรอบด้วยมัน
ʃ B .dl = μ 0ฉันปิด
เนื่องจากสนามแม่เหล็กขดรอบเส้นลวดเราสามารถใช้ทฤษฎีบทของสโต๊คกับกฎของแอมแปร์ได้
ดังนั้นสมการจึงกลายเป็น
เราสามารถแสดงกระแสที่อยู่ในรูปของความหนาแน่นกระแส J
B = μ 0 Hโดยใช้ความสัมพันธ์นี้เราสามารถเขียนนิพจน์เป็น
เมื่อเรานำความแตกต่างไปใช้กับการโค้งงอของสนามเวกเตอร์ที่หมุนได้ผลลัพธ์จะเป็นศูนย์ เป็นเพราะพื้นผิวปิดไม่ได้ทำหน้าที่เป็นแหล่งหรืออ่างกล่าวคือจำนวนของฟลักซ์ที่เข้าและออกจากพื้นผิวจะเท่ากัน สิ่งนี้สามารถแทนค่าทางคณิตศาสตร์เป็น
ให้เราพิจารณาวงจรตามภาพประกอบด้านล่าง
วงจรมีตัวเก็บประจุเชื่อมต่ออยู่ เมื่อเราใช้ความแตกต่างในภูมิภาค S1 ผลลัพธ์จะแสดงว่าไม่ใช่ศูนย์ ในสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์
มีการไหลของกระแสในวงจร แต่ในตัวเก็บประจุประจุจะถูกถ่ายโอนเนื่องจากการเปลี่ยนสนามไฟฟ้าในแผ่นเปลือกโลก ทางกายภาพกระแสไม่ไหลผ่าน Maxwell เป็นผู้บัญญัติให้ฟลักซ์ไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงนี้เป็น Displacement Current (J D) แต่แมกซ์เวลล์ได้บัญญัติศัพท์คำว่า Displacement Current (J D) โดยพิจารณาจากความสมมาตรของกฎของฟาราเดย์กล่าวคือถ้าสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงในเวลาก่อให้เกิดสนามไฟฟ้าตามความสมมาตรการเปลี่ยนแปลงสนามไฟฟ้าจะทำให้เกิดสนามแม่เหล็ก
ความโค้งของความเข้มสนามแม่เหล็ก (H) ในพื้นที่ S1 คือ
รูปแบบหนึ่งของสมการที่สี่ของ Maxwell สามารถแสดงเป็น:
รูปแบบที่แตกต่างของสมการที่สี่ของ Maxwell คือ:
ทั้งหมดเหล่านี้สี่สมการทั้งในรูปแบบหนึ่งหรือรูปแบบที่แตกต่างกันใส่กันเรียกว่าเป็นแมกซ์เวลสมการ